Potence z negativno stopnjo

Racionalna števila
Računske operacije
Potence
Izrazi s spremenljivko
Enačbe in neenačbe
Večkotniki
Odvisnost količin in sorazmerja
Podatki
Krog in krožnica
Pitagorov izrek
Kocka in kvader

Miha in Maja spet delita potence. Zapiši količnik potenc v zvezek. Opiši postopka deljenja in ugotovitve.

Miha je najprej izračunal vrednost potence v deljencu in delitelju. Količnik je zapisal z ulomkom $\frac{25}{625}$. Po krajšanju je zapisal ulomek $\frac{1}{25}$. Imenovalec ulomka je zapisal s potenco. Zapisal je ulomek $\frac{1}{5^2}$.

Maja je računala po postopku deljenja potenc z enakima osnovama. Zato ima potenca v količniku enako osnovo. Stopnja količnika je razlika med stopnjama potenc deljenca in delitelja. Maja izračuna količnik $5^{-2}$.

Oba postopka računanja sta pravilna. Zato velja enakost vrednosti $\frac{1}{5^2}=5^{-2}$.

V zvezek izračunaj naslednje količnike. Preveri, ali zgoraj ugotovljena lastnost velja v poljubnih primerih.

a) $2^3 : 2^7$ b) $3^2:3^4$ c) $a^5 : a^7$

$2^3:2^7=8:128=\frac{8}{128}=\frac{1}{16}= \frac{1}{2^4}$

$2^3:2^7=2^{3-7}=2^{-4}$

Torej je $2^{-4}=\frac{1}{2^4}$.

$3^2:3^4=9:81=\frac{9}{81}=\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}$

$3^2:3^4=3^{2-4}=3^{-2}$

Torej je $3^{-2}=\frac{1}{3^2}$.

Torej je $a^{-2}= \frac{1}{a^2}$.

Potenca z negativno stopnjo $a^{-n}$ je enaka ulomku s števcem $1$ in imenovalcem $a^n$.

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Zapis $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ je obratna vrednost števila $a^n$.

Zgled

Vpiši ustrezno stopnjo.

$3^m = \frac{1}{3^5}$ $5^{-7}= \frac{1}{5^n}$ $2^p=\frac{1}{8}$

$m=$ -5 $n=$ 7 $p=$ -3

Zgled

Opazuj zapisana števila. Po ugotovljenem pravilu zapiši naslednji (četrti) člen, deseti člen in $n$-ti člen.

$5^3 \cdot 5^{-2}$, $5^6 \cdot 5^{-4}$, $5^9 \cdot 5^{-6}$ ...

$1.$ člen: $5^3 \cdot 5^{-2}=5^1$, $2$. člen: $5^6 \cdot 5^{-4}=5^2$,

$3$. člen: $5^9 \cdot 5^{-6}=5^3$, $4.$ člen: $5^{12} \cdot 5^{-8}=5^4$,

$10$. člen: $5^{30} \cdot 5^{-20}=5^{10}$, $n$-ti člen: $5^{3n} \cdot 5^{-2n}=5^n$.

Zgled

Izračunaj: a) $\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}$ in b) $\left( \frac{5}{8} \right)^{-1}$. Kaj opaziš?

$\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=1:\frac{2}{3}=1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Torej je $\left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2}$.

$\left( \frac{5}{8} \right)^{-1}=\frac{1}{\left( \frac{5}{8} \right)}=1:\left( \frac{5}{8} \right)= 1\cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{5}$

Torej je $\left( \frac{5}{8} \right)^{-1} = \frac{8}{5}$.

Ulomek potenciramo z $-1$ tako, da zapišemo obratno vrednost ulomka.

$\left( \frac{a}{b} \right)^{-1}= \frac{b}{a}$

Potence z negativno stopnjo

V zvezek izračunaj naslednje količnike. Preveri, ali zgoraj ugotovljena lastnost velja v poljubnih primerih.

Potenca z negativno stopnjo $a^{-n}$ je enaka ulomku s števcem $1$ in imenovalcem $a^n$.

Zgled

Zgled

Vpiši ustrezno stopnjo.

Zgled

Opazuj zapisana števila. Po ugotovljenem pravilu zapiši naslednji (četrti) člen, deseti člen in $n$-ti člen.

Zgled

Izračunaj: a) $\left( \frac{2}{3} \right)^{-1}$ in b) $\left( \frac{5}{8} \right)^{-1}$. Kaj opaziš?

Zgled

Vpiši ustrezno osnovo.