Razišči, koliko možnosti za sestavljanje pravokotnika imaš, če je število enotskih kvadratkov praštevilo, in koliko, če je sestavljeno število.

Število $1$ ni ne praštevilo in ne sestavljeno število.

Denimo, da imamo $11$ kvadratkov. Vemo, da ima število $11$ dva delitelja, $D_{11} = \{1, 11\}$. Možen je en zmnožek, $1 \cdot 11 = 11$, zato lahko sestavimo en pravokotnik.

Če je število kvadratkov praštevilo, je vedno natanko ena možnost da sestavimo pravokotnik.

Če imamo $6$ kvadratkov je $D_6=\{1, 2, 3,6\}$.

Iz vseh možnih zmnožkov deliteljev sta dve možnosti, $1 \cdot 6 = 6$ in $2 \cdot 3 = 6$, kjer je zmnožek enak številu enotskih kvadratkov.

Denimo, da imamo $9$ kvadratkov. Vemo, da ima število $9$ tri delitelje, $D_9 = \{1, 3, 9\}$. Možna sta dva zmnožka, $1 \cdot 9 = 9$ in $3 \cdot 3 = 9$, zato lahko sestavimo dva pravokotnika.  

Če je kvadratkov npr. $14$, je $D_{14} = \{1, 2, 7, 14\}$.

Tudi za $14$ kvadratkov sta dve možnosti sestave pravokotnika $(1 \cdot 14 = 14$ in $2 \cdot 7 = 14)$.

Denimo, da označimo z $x$ število deliteljev sestavljenega števila. Zato lahko sestavimo $\frac{x}{2}$ pravokotnikov. Če je sestavljeno število popolni kvadrat, lahko sestavimo $\frac{x+1}{2}$ pravokotnikov.

$ D_{36} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$
Možnosti, da je zmnožek dveh deliteljev enak $36$ so: $1 \cdot 36, 2 \cdot 18, 3 \cdot 12, 4 \cdot 9$ in $6 \cdot 6$.

Število možnosti lahko tudi izračunamo po obrazcu $\frac{x+1}{2}$, kjer z $x$ označimo število deliteljev števila $36$.

$\frac{9+1}{2}=5$