Prostornina, masa in gostota

Izrazi
Enačbe in neenačbe
Geometrijski elementi v prostoru
Linearna funkcija
Obdelava podatkov
Razmerje in podobnost
Oglata telesa
Okrogla telesa
Verjetnost in kombinatorika
- Poskus, dogodek, izid 497
- Računanje verjetnosti 503

Prikazana so enaka telesa z enako prostornino $50\;\rm{cm}^3\!,$ vendar iz različnih snovi. Stehtaj vsako telo. Z računom ugotovi, iz katere snovi je telo. Pomagaj si s preglednico gostot.

Pri fiziki si spoznal, da se snovi razlikujejo po gostoti. To pomeni, da imajo snovi z enako prostornino različno maso pri isti temperaturi in tlaku. Količine masa, prostornina in gostota telesa povezuje formula $m=\varrho \;\cdot\;V\!.$

V spodnji preglednici so prikazane nekatere gostote snovi, merjene pri temperaturi $20\,^{\circ}\!\rm{C.}$

Snov	Gostota snovi $\big[\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}\big]$	Snov	Gostota snovi $\big[\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}\big]$
Aluminij	$2,7$	Svinec	$11,35$
Srebro	$10,5$	Les	$0,6$
Diamant	$3,5$	Kreda	$2$
Steklo	$2,5$	Polivinil	$1,4$
Zlato	$19,3$	Voda	$1$
Bron	$8,8$	Baker	$8,93$
Cink	$7,15$	Magnezij	$1,76$
Platina	$21,46$	Železo	$7,88$
Jeklo (valjano)	$7,85$	Titan	$4,5$

V fizikalnih in matematičnih priročnikih ter na spletu boš našel gostote še za druge snovi. Pri pouku tehnike se pozanimaj, kateri les ima navedeno gostoto.

Oznaka	Slika	Snov	Gostota snovi $\big[\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}\big]$
$A$		Svinec	$11,35$
$B$		Les	$0,6$
$C$		Srebro	$10,5$
$D$		Steklo	$2,5$
$E$		Zlato	$19,3$
$F$		Bron	$8,8$
$G$		Kreda	$2$

Maso telesa ($m$) izračunamo kot produkt gostote snovi ($\varrho$) in prostornine $V$.

$m=\varrho\;\cdot\;V$

Zgled

Izračunaj maso steklenega obeska, ki je prikazan na sliki. Vsi robovi obeska so dolgi $6\;\rm{cm.}$ Gostota stekla je $2,5\,\frac{\rm{kg}}{\rm{dm}^3}\!.$

Steklen obesek je sestavljen iz dveh pravilnih četvercev oziroma tetraedrov. Prostornina pravilnega četverca je $V=\frac{a^3\sqrt2}{12}$.

Prostornina pravilnega četverca:

$V=\frac{a^3\sqrt2}{12}=\frac{(6\;\rm{cm})^3\sqrt2}{12}=\frac{216\;\rm{cm}^3\sqrt2}{12}=18\sqrt2\;\rm{cm}^3$

Prostornina obeska:

$V_{\rm{o}}=2 \cdot V=2 \cdot 18\sqrt2\;\rm{cm}^3=36\sqrt2\;\rm{cm}^3$

Gostoto stekla pretvorimo v $\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}$:

$\varrho = 2,5 \frac{\rm{kg}}{\rm{dm}^3}=2,5 \cdot \frac{1\,000\;\rm{g}}{1\,000\;\rm{cm}^3}=2,5\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}$

Masa obeska:

$m=\varrho \cdot V_{\rm{o}}= 2,5\,\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}\cdot 36\sqrt2\;\rm{cm}^3=90\sqrt2\;\rm{g}$
$m \doteq 126,9\;\rm{g}$, če $\sqrt2 \doteq 1,41$

Masa steklenega obeska je približno $127\;\rm{g}$.

Zgled

Telo na sliki je sestavljeno iz pravilne $6$-strane prizme z osnovnim robom $a=8\;\rm{cm}$ in višino $b=20\;\rm{cm}$ ter iz pravilne $6$-strane piramide s stranskim robom $s=10\;\rm{cm.}$ Kolikšno maso ima telo, če je narejeno iz železa z gostoto $ {\large\varrho}_{\small Fe}=7,8\,\frac{\rm{kg}}{\rm{dm}^3}$?

Prostornino telesa izračunamo kot vsoto prostornin prizme in piramide. Pri izračunu prostornine piramide bomo potrebovali višino piramide, ki jo izračunamo s Pitagorovim izrekom.

$V=V_{prizme}+V_{piramide}$

$O=6\cdot p_{\triangle}=6\cdot\frac{a^2 \sqrt3}{4}$

$v^2=s^2-a^2$

Ploščina osnovne ploskve: $O=6\cdot\frac{a^2 \sqrt3}{4}$ $O=6\cdot\frac{(8\;\rm{cm})^2 \sqrt3}{4}$ $O=6\cdot\frac{64\;\rm{cm}^2 \sqrt3}{4}$ $O=96\sqrt3\;\rm{cm}^2$ Višina piramide: $v^2=s^2-a^2$ $v^2=(10\;\rm{cm})^2-(8\;\rm{cm})^2$ $v^2=100\;\rm{cm}^2-64\;\rm{cm}^2$ $v^2=36\;\rm{cm}^2$ $v=\sqrt {36\;\rm{cm}^2}$ $v=6\;\rm{cm}$		Prostornina prizme: $V_1=O\cdot b$ $V_1=96\sqrt3\;\rm{cm}^2\cdot 20\;\rm{cm}$ $V_1=1920\sqrt3\;\rm{cm}^3$ Prostornina piramide: $V_2=\frac{Ov}{3}$ $V_2=\frac{96\sqrt3\;\rm{cm}^2\; \cdot \; 6\;\rm{cm}}{3}$ $V_2=192\sqrt3\;\rm{cm}^3$
Prostornina telesa: $V=V_1+V_2=1920\sqrt3\;\rm{cm}^3+192\sqrt3\;\rm{cm}^3$ $V=2\,112\sqrt3\;\rm{cm}^3$ $V \doteq 3\,653,76\;\rm{cm}^3$, če $\sqrt 3 \doteq 1,73$

Gostoto železa pretvorimo v $\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}$:

$ {\large \varrho}_{\small Fe}=7,8\,\frac{\rm{kg}}{\rm{dm}^3}=7,8\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}$

Masa železnega telesa:

$m=\large {\varrho}_{\small Fe} \cdot V$
$m= 7,8\,\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}\cdot 3\,653,76\;\rm{cm}^3$
$m=28\,499,328\,\;\rm{g}$
$m \doteq 28,5\;\rm{kg}$

Masa telesa iz železa je približno $28,5\;\rm{kg.}$

Zgled

Ledena kocka tehta $84\;\rm{g}$. Gostota ledu je $917\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\!.$ Telo na sliki ima vse robove enako dolge. Vsota njihovih dolžin je $1\;\rm{m}$. Ali je rob tega telesa krajši od roba omenjene ledene kocke?

Iz formule $m=\varrho \cdot V$ izrazimo prostornino ledene kocke.

$\large V=\frac{m}{\varrho}$

Izračunamo prostornino kocke. Iz znane prostornine izračunamo dolžino roba kocke. Dolžino roba sestavljenega telesa izračunamo, ko preštejemo število robov telesa.

Gostoto ledu pretvorimo v $\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}$:

$ {\large \varrho}_{led}=917\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}=917 \cdot \frac{1\,000\;\rm{g}}{1\,000\,000\;\rm{cm}^3}= \frac{917\;\rm{g}}{1\,000\;\rm{cm}^3}=0,917\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}$

Prostornina ledene kocke:

$V=\frac{m}{{\large \varrho}_{led}}=\frac{84\;\rm{g}}{0,917\frac{\rm{g}}{\rm{cm}^3}}=\frac{84\;\rm{g}\;\cdot\;\rm{cm}^3}{0,917\;\rm{g}}$
$V\doteq 91,6\;\rm{cm}^3$

Prostornina ledene kocke je približno $91,6\;\rm{cm}^3\!.$

Dolžina roba telesa na sliki je $5\;\rm{cm}$. Če bi imela ledena kocka enako dolg rob, bi bila njena prostornina $V = (5\;\rm{cm})^3 = 125\;\rm{cm}^3$. Ker je prostornina kocke manjša od te vrednosti, je tudi rob kocke krajši od $5\;\rm{cm}$. Ugotovitev preverimo še računsko.

Dolžina roba ledene kocke:

$V=a^3$
$a=\sqrt[3]{V}$
$a=\sqrt[3]{91,6\;\rm{cm}^3}$
$a\doteq 4,5\;\rm{cm}$

Dolžino roba sestavljenega telesa dobimo tako, da skupno dolžino vseh robov delimo s številom vseh robov. Vseh robov je $20$.

$a'=1\;\rm{m} : 20=100\;\rm{cm} : 20=5\;\rm{cm}$

Sestavljeno telo ima za $0,5\;\rm{cm}$ daljši rob kot ledena kocka.