Lastnosti

Evklidska geometrija
Geometrija - kotne funkcije
Vektorji
Potence in koreni
Funkcije, potenčna funkcija
Kvadratna funkcija
Kompleksna števila
Eksponentna in logaritemska funkcija

Zgled

Naj bodo števila $z=-3+5i$, $w=1-i$, $ u=2+4i $ in $v=1+2i$.

Izračunaj absolutno vrednost vseh štirih števil. V katero številsko množico spadajo rezultati?
Izračunaj $|z\cdot w|$ in $|z|\cdot |w|$. Primerjaj rezultata.
Izračunaj $|z+ w|$ in $|z| +|w|$, potem pa še $|u+ v|$ in $|u| +|v|$. Paroma primerjaj rezultate. Kaj opaziš?

$|z|=\sqrt{34}$, $|w|=\sqrt{2}$, $|u|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, $|v|=\sqrt{5}$. Vsi rezultati so pozitivna realna števila.
Rezultata sta enaka, saj velja $|z\cdot w|=|z|\cdot |w|=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$.
$|z+w|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, $|z|+|w|=\sqrt{34}+\sqrt{2}$
$|u+v|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, $|u|+|v|=3\sqrt{5}$
Pri prvem paru je absolutna vrednost vsote manjša kot vsota absolutnih vrednosti, pri drugem paru pa sta enaki.

Naj bosta $z=a+bi$ in $w=c+di$ kompleksni števili. Tedaj velja:

$|z| \geq 0$, $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$

$|z \cdot w|=|z|\cdot |w|$

$|z+w| \leq |z|+|w|$ (Trikotniška neenakost.)

$a^2 \geq 0$ in $b^2 \geq 0 \Rightarrow \; a^2+b^2 \geq 0 \; \Rightarrow \; \sqrt{a^2+b^2} \geq 0$

$|z|=0\; \Leftrightarrow \; \sqrt{a^2+b^2}=0\; \Leftrightarrow \; a^2+b^2=0 \; \Leftrightarrow \;a=0$ in $b=0$ $\Leftrightarrow \; z=0$

$|z\cdot w|=\sqrt{z\cdot w \cdot \overline{(z\cdot w)}}=\sqrt{(z\cdot \bar{z})(w\cdot \bar{w})}=$
$=\sqrt{z\cdot \bar{z}}\cdot \sqrt{w\cdot \bar{w}}=|z|\cdot |w|$

Lastnost sledi neposredno iz uporabe trikotniške neenakosti v trikotniku (vsota dolžin poljubnih dveh stranic v trikotniku je vedno večja od tretje stranice), kar je vidno s slike.

Ali veljajo iste lastnosti tudi za absolutno vrednost realnih števil?

Seveda veljajo, saj je množica realnih števil podmnožica v množici kompleksnih števil.

Zgled

Za katera kompleksna števila $z=a+bi$, $z\neq 0$ velja:

1. $\|z\|=z$,	$\qquad \qquad$	3. $\|z\|=iz$,
2. $\|z\|=-z$,		4. $\|z\|=-iz\,$?

$\sqrt{a^2+b^2}=a+bi \; \Rightarrow \; b=0$ in $a>0$, velja za pozitivna realna števila,
$\sqrt{a^2+b^2}=-a-bi \; \Rightarrow \; b=0$ in $a<0$, velja za negativna realna števila,
$\sqrt{a^2+b^2}=ai-b \; \Rightarrow \; a=0$ in $b<0$,
$\sqrt{a^2+b^2}=-ai+b \; \Rightarrow \; a=0$ in $b>0$.

1. $\|z\|=z$,	$\qquad \qquad$	3. $\|z\|=iz$,
2. $\|z\|=-z$,		4. $\|z\|=-iz\,$?

Lastnosti absolutne vrednosti

Zgled

Naj bosta $z=a+bi$ in $w=c+di$ kompleksni števili. Tedaj velja: $|z| \geq 0$, $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$ $|z \cdot w|=|z|\cdot |w|$ $|z+w| \leq |z|+|w|$ (Trikotniška neenakost.)

Zgled

Zgled

Zgled

Naj bosta $z=a+bi$ in $w=c+di$ kompleksni števili. Tedaj velja:

$|z| \geq 0$, $|z|=0 \Leftrightarrow z=0$

$|z \cdot w|=|z|\cdot |w|$

$|z+w| \leq |z|+|w|$ (Trikotniška neenakost.)