Analitični način

Kaj se zgodi z znakom neenakosti, če neenačbo pomnožimo s številom ali izrazom različnih predznakov?

Sedaj bomo rešili neenačbo iz uvoda na analitični način (računsko): $$\frac{x}{x-1}>2$$ Neenačbo bomo pomnožili z $x-1$. Obravnavali bomo primere, ko je vrednost izraza $x-1$ pozitivna, negativna in enaka $0$.

1. Če je $x>1$, je vrednost izraza $x-1$ pozitivna. Po množenju z $x-1$ se znak neenakosti ohrani. $$\frac{x}{x-1}>2\quad \left| \cdot (x-1) \right.$$ $$x>2(x-1)$$ $$x>2x-2$$ $$-x>-2\left| \cdot (-1) \right.$$ $$x<2$$ Ker je pogoj, da je $x>1$, dobimo rešitev: $$1<x<2$$

2. Če je $x<1$, je vrednost izraza $x-1$ negativna. Po množenju z $x-1$ se znak neenakosti obrne. $$\frac{x}{x-1}>2\quad \left| \cdot (x-1) \right.$$ $$x<2(x-1)$$ $$x<2x-2$$ $$-x<-2\left| \cdot (-1) \right.$$ $$x>2$$ Ti $x$ ne zadoščajo pogoju $x<1$, zato v tem primeru ni rešitve.

3. Če je $x=1$, izraz na levi strani neenačbe ni definiran, zato $x=1$ ni rešitev neenačbe.

Rešitve neenačbe so torej vsi $x$, za katere velja $1<x<2$ oziroma $x\in (1,2)$.

Zgled

Reši neenačbo $\displaystyle\frac{x}{x-2}<x$ grafično in analitično.

Zgled

Za katere $x$ leži graf funkcije $f(x)=\displaystyle\frac{x-3}{x+4}$ pod premico $y=x+1$? Zapiši ustrezno neenačbo in jo reši.

<NAZAJ

>NAPREJ467/610