Izpeljava Heronovega obrazca

Manjka velikost kota $\alpha$. Izračunamo jo lahko s kosinusnim izrekom.

${\rm sin^2}\alpha+{\rm cos^2}\alpha=1$

Iz kosinusnega izreka izpeljemo ${\rm cos}\,\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.

$S=\frac{1}{2}bc\,{\rm sin}\,\alpha$. Izraz kvadriramo in preuredimo.

$S^2=\frac{1}{4}b^2c^2{\rm sin^2}\alpha=\frac{1}{4}b^2c^2(1-{\rm cos^2}\alpha)=$

$=\frac{1}{4}b^2c^2(1+{\rm cos}\,\alpha)(1-{\rm cos}\,\alpha)=$

$=\frac{1}{4}b^2c^2(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})=$

$= \frac{1}{4}b^2c^2\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\frac{2bc-(b^2+c^2-a^2)}{2bc}=$

$=\frac{1}{16}((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)=$

$= \frac{1}{16}(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)=$

$=\frac{a+b+c}{2}\frac{a+b+c-2a}{2}\frac{a+b+c-2b}{2}\frac{a+b+c-2c}{2}$

Polovico obsega trikotnika označimo krajše s $s$.

$s=\frac{a+b+c}{2}$ 

Dobimo $S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$.

Na koncu še korenimo.

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$