Včrtana krogla

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

V pravilni tetraeder z robom, dolgim $12\,\rm cm$, včrtamo kroglo.
a) Kaj lahko poveš o središču tetraedru očrtane in včrtane krogle? Utemelji odgovor.
b) Izračunaj dolžino polmera včrtane krogle.
Če potrebuješ pomoč, si oglej animacijo.

Predstavljajmo si očrtano kroglo, ki jo postopoma manjšamo (središče je enako, polmer se zmanjšuje). Ko bo krogla dovolj majhna, da se bo dotaknila ene izmed stranskih ploskev in se bo zaradi simetrije dotikala tudi drugih dveh ploskev.

Torej središče včrtane krožnice sovpada s središčem očrtane krožnice.

Ponovno si oglej nalogo, v kateri smo tetraedru očrtali kroglo. Kaj je predstavljala spremenljivka $x$?

V nalogi, kjer smo tetraedru očrtali kroglo, smo z $x$ označili razdaljo od središča osnovne ploskve tetraedra do središča krogle. Ta razdalja je enaka polmeru včrtane krogle.
$r_{včrtane}=x=\frac{\sqrt{6}}{12}a=\sqrt{6}\,\rm cm$

Zgled

Pravilni oktaeder ima robove z dolžino $a$. S spremenljivko $a$ izrazi dolžino polmera oktaedru včrtane krogle. Če potrebuješ pomoč, si oglej animacijo.

Polmer razdeli črtkan trikotnik na dva pravokotna trikotnika. Zapiši Pitagorov izrek za manjšega izmed njiju.

$r_{včrtane}=\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(\frac{1}{3}v)^2}$

$r_{včrtane}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-(\frac{a \sqrt{3}}{6})^2}$

$r_{včrtane}=\frac{a \sqrt{6}}{6}$

Za oktaedru včrtano in očrtano kroglo izračunaj še razmerje dolžin njunih:
a) polmerov,
b) površin,
c) prostornin.

$r_{včrtane} : R_{očrtane} =\frac{a \sqrt{6}}{6} : \frac{a \sqrt{2}}{2}=1 : \sqrt{3}$

$P_{včrtane} : P_{očrtane} = r_{včrtane}^2 : R_{očrtane}^2=1 : 3$

$V_{včrtane} : V_{očrtane} = r_{včrtane}^3 : R_{očrtane}^3=1 : 3\sqrt{3}$

Zgled

V pravilni tetraeder z robom, dolgim $12\,\rm cm$, včrtamo kroglo. a) Kaj lahko poveš o središču tetraedru očrtane in včrtane krogle? Utemelji odgovor. b) Izračunaj dolžino polmera včrtane krogle. Če potrebuješ pomoč, si oglej animacijo.

Zgled

Pravilni oktaeder ima robove z dolžino $a$. S spremenljivko $a$ izrazi dolžino polmera oktaedru včrtane krogle. Če potrebuješ pomoč, si oglej animacijo.

Za oktaedru včrtano in očrtano kroglo izračunaj še razmerje dolžin njunih: a) polmerov, b) površin, c) prostornin.

V pravilni tetraeder z robom, dolgim $12\,\rm cm$, včrtamo kroglo.
a) Kaj lahko poveš o središču tetraedru očrtane in včrtane krogle? Utemelji odgovor.
b) Izračunaj dolžino polmera včrtane krogle.
Če potrebuješ pomoč, si oglej animacijo.

Za oktaedru včrtano in očrtano kroglo izračunaj še razmerje dolžin njunih:
a) polmerov,
b) površin,
c) prostornin.