Hiperbola in graf funkcije

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Iz enačbe hiperbole izrazi $y$.

a) $\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ b) $ \frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=-1$

Kdaj tako dobljena krivulja predstavlja enačbo grafa funkcije? Kaj je definicijsko območje te funkcije?
Ponovi na aktivni sliki spodaj. Premakni točko $S$.

$\displaystyle \frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$

$\displaystyle \frac{(y-q)^2}{b^2}=\frac{(x-p)^2}{a^2}-1$

$\displaystyle (y-q)^2=\frac{b^2}{a^2}\left((x-p)^2-a^2\right)$

$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2-a^2}+q$

Dobimo dve krivulji

$\displaystyle y= \frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2-a^2}+q$
in
$\displaystyle y= -\frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2-a^2}+q$,

ki predstavljata zgornjo in spodnjo polovico hiperbole.

Ti dve krivulji sta grafa funkcij:

$\displaystyle f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2-a^2}+q$

$\displaystyle g(x)=-\frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2-a^2}+q$

Definicijsko območje funkcij $f$ in $g$: $D_f=D_g=(-\infty,-a+p]\cup[a+p,\infty ) $

$\displaystyle \frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=-1$

$\displaystyle \frac{(y-q)^2}{b^2}=\frac{(x-p)^2}{a^2}+1$

$\displaystyle (y-q)^2=\frac{b^2}{a^2}\left((x-p)^2+a^2\right)$

$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2+a^2}+q$

Dobimo dve krivulji

$\displaystyle y= \frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2+a^2}+q$
in
$\displaystyle y= -\frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2+a^2}+q$,

ki predstavljata zgornjo in spodnjo polovico hiperbole.

Ti dve krivulji sta grafa funkcij:

$\displaystyle f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2+a^2}+q$

$\displaystyle g(x)=-\frac{b}{a} \sqrt{(x-p)^2+a^2}+q$

Definicijsko območje funkcij $f$ in $g$: $D_f=D_g=(-\infty,\infty ) $

Zgled

Določi definicijsko območje, zalogo vrednosti in nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\frac{4}{3}\sqrt{x^2-4x-5}-2$.
Nalogo reši tudi z izbranim programom, ki omogoča delo s krivuljami v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Enačbo grafa funkcije najprej preoblikujemo:

$y=-\frac{4}{3}\sqrt{x^2-4x-5}-2$
$y+2=-\frac{4}{3}\sqrt{x^2-4x-5}/()^2$
$(y+2)^2=\frac{16}{9}(x^2-4x+4-9)$
$(y+2)^2=\frac{16}{9}((x-2)^2-9)$
$(y+2)^2=\frac{16}{9}(x-2)^2-16$
$\frac{16}{9}(x-2)^2-(y+2)^2=16/:16$
$ \displaystyle \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+2)^2}{16}=1$

Najprej narišemo hiperbolo, nato pa označimo spodnjo polovico hiperbole, ki predstavlja graf funkcije $f(x)$.
Z grafa lahko razberemo tudi definicijsko območje in zalogo vrednosti: ${\cal D}_f=(-\infty,-1]\cup[5,\infty ) $ , ${\cal Z}_f=(-\infty,-2]$

Na sliki spodaj je graf funkcije $f(x)$ narisan z uporabo programa GeoGebra.

Vidimo, da hiperbolo lahko narišemo tudi kot unijo grafov funkcij $f(x)$ in $g(x)$, kot je prikazano na sliki.
Tako si pomagamo pri risanju krivulj s tistimi programi, ki ne omogočajo vnosa implicitno podanih krivulj.

Hiperbola in graf funkcije

Iz enačbe hiperbole izrazi $y$.

a) $\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ b) $ \frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=-1$

Kdaj tako dobljena krivulja predstavlja enačbo grafa funkcije? Kaj je definicijsko območje te funkcije?
Ponovi na aktivni sliki spodaj. Premakni točko $S$.

Zgled

Določi definicijsko območje, zalogo vrednosti in nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\frac{4}{3}\sqrt{x^2-4x-5}-2$.
Nalogo reši tudi z izbranim programom, ki omogoča delo s krivuljami v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Zgled

Zapiši predpis za funkcijo $f$, če veš, da je njen graf del hiperbole na sliki:

Zgled

Nariši krivuljo z enačbo $x=-2\sqrt{y^2-2y}$.

Hiperbola in graf funkcije

Iz enačbe hiperbole izrazi $y$. a) $\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ b) $ \frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=-1$ Kdaj tako dobljena krivulja predstavlja enačbo grafa funkcije? Kaj je definicijsko območje te funkcije? Ponovi na aktivni sliki spodaj. Premakni točko $S$.

Zgled

Določi definicijsko območje, zalogo vrednosti in nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\frac{4}{3}\sqrt{x^2-4x-5}-2$. Nalogo reši tudi z izbranim programom, ki omogoča delo s krivuljami v pravokotnem koordinatnem sistemu.

Zgled

Zapiši predpis za funkcijo $f$, če veš, da je njen graf del hiperbole na sliki:

Zgled

Nariši krivuljo z enačbo $x=-2\sqrt{y^2-2y}$.

Iz enačbe hiperbole izrazi $y$.

a) $\frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=1$ b) $ \frac{(x-p)^2}{a^2}-\frac{(y-q)^2}{b^2}=-1$

Kdaj tako dobljena krivulja predstavlja enačbo grafa funkcije? Kaj je definicijsko območje te funkcije?
Ponovi na aktivni sliki spodaj. Premakni točko $S$.

Določi definicijsko območje, zalogo vrednosti in nariši graf funkcije s predpisom $f(x)=-\frac{4}{3}\sqrt{x^2-4x-5}-2$.
Nalogo reši tudi z izbranim programom, ki omogoča delo s krivuljami v pravokotnem koordinatnem sistemu.