Kriterij za racionalne ničle

Naj bo $p(x)$ polinom s celoštevilskimi koeficienti.
$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

Naj bo $\frac{c}{d}$ racionalna ničla polinoma $p$.
Števili $c$ in $d$ naj bosta tuji si števili, sicer ulomek okrajšamo.
$0=a_n(\frac{c}{d})^n+a_{n-1}(\frac{c}{d})^{n-1}+...+a_1(\frac{c}{d})+a_0$

Enačbo pomnožimo z $d^n$.
$0=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}d+a_{n-2}c^{n-2}d^2+...+a_1cd^{n-1}+a_0d^{n}$

•  Enačbo preoblikujemo na prvi način.
$-a_nc^n=d(a_{n-1}c^{n-1}+a_{n-2}c^{n-2}d+...+a_1cd^{n-2}+a_0d^{n-1})$
Sledi, da je število $d$ delitelj vodilnega člena $a_n$, saj sta si števili $c$ in $d$ tuji.

•  Enačbo preoblikujemo na drugi način.
$-a_0d^n=c(a_nc^{n-1}+a_{n-1}c^{n-2}d+...+a_1d^{n-1})$
Sledi, da je število $c$ delitelj prostega člena $a_0$, saj sta si števili $c$ in $d$ tuji.

Možne ničle polinoma $p$ so torej ulomki oblike $\frac{c}{d}$, pri čemer je $c$ delitelj prostega člena, $d$ pa delitelj vodilnega člena in sta si števili $c$ in $d$ tuji.

Delitelji prostega člena: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10$
Delitelji vodilnega koeficienta: $\pm1, \pm7$
Možne ničle:
$ \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{7}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{7}, \pm\frac{5}{1}, \pm \frac{5}{7}, \pm \frac{10}{1}, \pm \frac{10}{7}$
Poenostavljene ničle:
$ \pm 1, \pm \frac{1}{7}, \pm 2, \pm \frac{2}{7}, \pm 5, \pm \frac{5}{7}, \pm 10, \pm \frac{10}{7}$

Delitelji prostega člena: $\pm1, \pm3, \pm5, \pm15$
Delitelji vodilnega koeficienta: $\pm1, \pm3, \pm 9$
Možne ničle:
$ \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm \frac{3}{1}, \pm \frac{3}{3}, \pm \frac{3}{9},$
$ \pm \frac{5}{1}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{9}, \pm \frac{15}{1}, \pm \frac{15}{3}, \pm \frac{15}{9}$
Poenostavljene ničle:
$ \pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 3, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{9}, \pm 15$

Delitelji prostega člena: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$
Delitelji vodilnega koeficienta: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$
Možne ničle:
$ \pm \frac{1}{1}, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{2}{1}, \pm \frac{2}{2}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{6},$
$ \pm \frac{3}{1}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{3}, \pm \frac{3}{6}, \pm \frac{6}{1}, \pm \frac{6}{2}, \pm \frac{6}{3}, \pm \frac{6}{6}$
Poenostavljene ničle:
$ \pm1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$