Polinomske enačbe

Vse člene prenesemo na eno stran enačbe.
$x^3+9x^2+15x-25=0$

Možne celoštevilske rešitve:
$\pm1, \pm5, \pm25$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=1$.

$x_1=1$

Rešimo enačbo $x^2+10x+25=0$.
$(x+5)(x+5)=0$
$x_{2,3}=-5$

Vse člene prenesemo na eno stran enačbe.
$2x^4+9x^3+9x^2-x-3=0$

Možne celoštevilske rešitve:
$\pm 1, \pm3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=-1$.

$x_1=-1$

Rešimo enačbo $2x^3+7x^2+2x-3=0$.
Možne rešitve:
$\pm 1, \pm3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=-1$.

$x_2=-1$

Rešimo enačbo $2x^2+5x-3=0$.
$x_{3,4}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$
$x_3=\frac{1}{2}, x_4=-3$

Odpravimo oklepaje.
$(x^2+3x+2)(x+3)=6$
$x^3+3x^2+2x+3x^2+9x+6=6$
$x^3+6x^2+11x=0$
$x(x^2+6x+11)=0$

$x_1=0$
$x_{2,3}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot11}}{2 \cdot 1}=\frac{-6\pm \sqrt{-8}}{2}=\frac{-6\pm 2 \sqrt{2}i}{2}$
$x_2=-3+ \sqrt{2}i, x_3=-3- \sqrt{2}i$

$p(-\frac{1}{2})=(-\frac{1}{2})^4+(-\frac{1}{2})^3-19\cdot(-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}-10$
$p(-\frac{1}{2})=-\frac{245}{16}$

$x^4+x^3-19x^2+x-10=10$
$x^4+x^3-19x^2+x-20=0$

Možne celoštevilske rešitve:
$\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=4$.

$x_1=4$

Rešimo enačbo $x^3+5x^2+x+5=0$.
Možne celoštevilske rešitve:
$\pm1, \pm5$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=-5$.

$x_2=-5$

Enačba $x^2+1=0$ nima realnih rešitev.

$p(x+1)=(x+1)^4+(x+1)^3-19(x+1)^2+(x+1)-10$
$p(x+1)=x^4+5x^3-10x^2-30x-26$

$p(-x)=(-x)^4+(-x)^3-19(-x)^2+(-x)-10$
$p(-x)=x^4-x^3-19x^2-x-10$

$x^4+5x^3-10x^2-30x-26-$
$-(x^4-x^3-19x^2-x-10)=-16$

$x^4+5x^3-10x^2-30x-26-$
$-x^4+x^3+19x^2+x+10=-16$

$6x^3+9x^2-29x=0$

$x(6x^2+9x-29)=0$

$x_1=0$
$x_{2,3}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-9 \pm \sqrt{9^2-4\cdot6\cdot(-29)}}{2\cdot6}=\frac{-9 \pm \sqrt{777}}{12}$

Člen s korenom damo na eno stran enačbe, preostale člene na drugo.
$x^2-3=2\sqrt{8x^2+18x+11}$

Enačbo kvadriramo, da odpravimo koren.
$(x^2-3)^2=4\cdot(8x^2+18x+11)$
$x^4-6x^2+9=32x^2+72x+44$
$x^4-38x^2-72x-35=0$

Možne celoštevilske rešitve:
$\pm1, \pm5, \pm7, \pm35$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=-1$.

$x_1=-1$

Rešimo enačbo $x^3-x^2-37x-35=0$.
Možne celoštevilske rešitve:
$\pm1, \pm5, \pm7, \pm35$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=-1$.

$x_2=-1$

Rešimo enačbo $x^2-2x-35=0$.
$(x-7)(x+5)=0$
$x_3=7, x_4=-5$

Ker je korenski eksponent sode stopnje, moramo narediti preizkuse. Rešitvi enačbe sta $x_3=7$ in $x_4=-5$.

Člen s korenom prenesemo na eno stran enačbe, preostale člene na drugo stran.
$x+1=\sqrt[3]{27x-27}$

Obe strani enačbe damo na tretjo potenco, da odpravimo koren.
$(x+1)^3=27x-27$
$x^3+3x^2+3x+1=27x-27$
$x^3+3x^2-24x+28=0$

Možne celoštevilske rešitve:
$\pm1, \pm2, \pm7, \pm14, \pm28$

Izvedemo Hornerjev algoritem za $x=2$.

$x_1=2$

Rešimo enačbo $x^2+5x-14=0$.
$(x+7)(x-2)=0$
$x_2=-7, x_3=2$

1. možnost: $5x+5≥0 \Rightarrow x≥-1$
$x^3-2x^2-8x-5=5x+5$
$x^3-2x^2-8x-5-5x-5=0$
$x^3-2x^2-13x-10=0$
$x_1=-1, x_2=-2, x_3=5$
Pogoju $x≥-1$ zadoščata rešitvi $x_1=-1$ in $x_3=5$.

2. možnost: $5x+5<0 \Rightarrow x<-1$
$x^3-2x^2-8x-5=-5x-5$
$x^3-2x^2-8x-5+5x+5=0$
$x^3-2x^2-3x=0$
$x(x^2-2x-3)=0$
$x(x-3)(x+1)=0$
$x_1=0, x_2=3, x_3=-1$
Nobena izmed rešitev ne zadošča pogoju $x<-1$.

Enačba ima dve rešitvi: $x_1=-1$ in $x_3=5$.