Koreni enote

$z^2-1=0$
$(z-1)(z+1)=0$
$z_1=1$
$z_2=-1$

$z^3-1=0$
$(z-1)(z^2+z+1)=0$
$z_1=1$
$z^2+z+1=0$
$z_{2,3}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

$z^4-1=0$
$(z^2-1)(z^2+1)=0$
$(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)=0$
$z_1=1$
$z_2=-1$
$z_3=i$
$z_4=-i$

$z^3=1$

Naj bo $z=|z|(\cos \varphi+i\sin\varphi)$ rešitev enačbe. Zapišimo še $1=\cos 0+i\sin 0$. Vstavimo v enačbo in poenostavimo.

$|z|^3(\cos \varphi+i\sin\varphi)^3=\cos 0+i\sin 0$
$|z|^3(\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi)=\cos 0+i\sin 0$

Primerjamo levo in desno stran enačbe. Sklepamo, da je $|z|^3=1$, iz česar izhaja $|z|=\sqrt[3]1=1$.

Razmislimo še o velikosti kota $\varphi$. Zaradi periodičnosti funkcij sinus in kosinus je $3\varphi=0+2k\pi$ oziroma $\varphi=\frac{2k\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$. Izračunajmo nekaj vrednosti kota $\varphi$.
$k=0$: $\varphi=\frac{2\cdot 0 \cdot\pi}{3}=0$
$k=1$: $\varphi=\frac{2\cdot 1 \cdot\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$
$k=2$: $\varphi=\frac{2\cdot 2 \cdot\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$
$k=3$: $\varphi=\frac{2\cdot 3 \cdot\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}=2\pi$

Sinus ima pri $0$ in pri $2\pi$ enake vrednosti, prav tako kosinus. Tudi za druge vrednosti $k$ bi se vrednosti obeh funkcij ponovile, zato ima enačba $z^3=1$ le tri različne rešitve.

Povzemimo. Rešitve enačbe $z^3=1$ so:
$z_0=1(\cos 0+i\sin0)=1$
$z_1=1(\cos \frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}i$
$z_2=1(\cos \frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3})=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt 3}{2}i$

Rešitve enačbe poiščemo podobno kot v prejšnjem zgledu.

Naj bo $z=|z|(\cos \varphi+i\sin\varphi)$ rešitev enačbe. Zapišimo še $1=\cos 0+i\sin 0$. Vstavimo v enačbo in poenostavimo.

$|z|^n(\cos \varphi+i\sin\varphi)^n=\cos 0+i\sin 0$
$|z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)=\cos 0+i\sin 0$

Primerjamo levo in desno stran enačbe. Sklepamo, da je $|z|^n=1$, iz česar izhaja $|z|=\sqrt[n]1=1$.

Razmislimo še o velikosti kota $\varphi$. Zaradi periodičnosti funkcij sinus in kosinus je $n\varphi=0+2k\pi$ oziroma $\varphi=\frac{2k\pi}{n}$, $k\in\mathbb{Z}$. Izračunajmo nekaj vrednosti kota $\varphi$.
$k=0$: $\varphi=\frac{2\cdot 0 \cdot\pi}{n}=0$
$k=1$: $\varphi=\frac{2\cdot 1 \cdot\pi}{n}=\frac{2\pi}{n}$
$k=2$: $\varphi=\frac{2\cdot 2 \cdot\pi}{n}=\frac{4\pi}{n}$

Vrednosti funkcij sinus in kosinus se bodo prvič ponovile pri $k=n$, saj bo $\varphi=\frac{2n\pi}{n}=2\pi$. Enako bi ugotovili za $k>n$.

Enačba $z^n=1$ ima natanko $n$ korenov, ki jih lahko zapišemo z enim izrazom:

$z_k=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin \frac{2k\pi}{n}$, $k=0, 1, 2  ...  n-1$