Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti

Zapišemo polinom $p$.

$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

Naj bo $z=a+bi$ ničla polinoma $p$.
$0=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_2z^2+a_1z+a_0$

Izračunajmo $p(\overline{z})$.
$p(\overline{z})=a_n(\overline{z})^n+a_{n-1}(\overline{z})^{n-1}+...+a_2(\overline{z})^2+a_1(\overline{z})+a_0$

Upoštevamo, da je $(\overline{z})^n=\overline{z^n}$.
$p(\overline{z})=a_n\overline{z^n}+a_{n-1}\overline{z^{n-1}}+...+a_2\overline{z^2}+a_1\overline{z}+a_0$

Upoštevamo, da je $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$ in da so koeficienti $a_n, a_{n-1}, ..., a_2, a_1, a_0$ realni.
$p(\overline{z})=\overline{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_2z^2+a_1z+a_0}$

Upoštevamo, da je $z=a+bi$ ničla polinoma $p$.
$p(\overline{z})=\overline{0}=0$

Torej je tudi število  $\overline{z}$ ničla polinoma $p$.

Zapiši manjkajočo ničlo polinoma.

Zapišemo manjkajočo ničlo.
$x_3=\overline{x_2}=\overline{2+i}=2-i$

Neznani polinom zapišemo v ničelni obliki.
$p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

Vstavimo ničle.
$p(x)=a(x-2)(x-2-i)(x-2+i)$

Vstavimo $x=-1$ in vrednost enačimo z $10$.
$10=a(-1-2)(-1-2-i)(-1-2+i)$
$10=a(-3)(-3-i)(-3+i)$
$10=-30a$
$a=-\frac{1}{3}$

Zapišemo polinom.
$p(x)=- \frac{1}{3}(x-2)(x-2-i)(x-2+i)$

Pomnožimo, da se znebimo $i$.
$p(x)=- \frac{1}{3}(x-2)(x^2-4x+4-i^2)$
$p(x)=- \frac{1}{3}(x-2)(x^2-4x+5)$