Graf polinoma v okolici ničel

• Opazuj ničlo 1. stopnje $x_1=3$.
Primerjaj predznaka števil $p(2,9)$ in $p(3,1)$.

• Opazuj ničlo 3. stopnje $x_{4,5,6}=-1$.
Primerjaj predznaka števil $p(-1,1)$ in $p(-0,9)$.

V ničli lihe stopnje vrednost polinoma spremeni predznak.

Naj ima polinom $p$ ničlo lihe stopnje $x_0$. Tedaj je $p(x)=k(x)(x-x_0)^{2k-1}$, kjer $x_0$ ni ničla $k(x)$.

• Za $x<x_0$ je vrednost $(x-x_0)^{2k-1}$ negativna.
• Za $x>x_0$ je vrednost $(x-x_0)^{2k-1}$ pozitivna.

V ničli lihe stopnje torej polinom spremeni predznak.

• Opazuj ničlo $2$. stopnje $x_{2,3}=-2$.
Primerjaj predznaka števil $p(-2,1)$ in $p(-1,9)$.

• Opazuj ničlo $4$. stopnje $x_{7,8,9,10}=1$.
Primerjaj predznaka števil $p(0,9)$ in $p(1,1)$.

V ničli sode stopnje vrednost polinoma ne spremeni predznaka.

Naj ima polinom $p$ ničlo sode stopnje $x_0$. Tedaj je $p(x)=k(x)(x-x_0)^{2k}$, kjer $x_0$ ni ničla $k(x)$.

• Za $x<x_0$ je vrednost $(x-x_0)^{2k}$ pozitivna.
• Za $x>x_0$ je vrednost $(x-x_0)^{2k}$ pozitivna.

V ničli sode stopnje torej polinom ne spremeni predznaka.

Višja je stopnja ničle, manjše so vrednosti polinoma v bližini ničle.
Pri tem "bližino ničle" razumemo manj kot $1$ levo in desno od ničle.

"Bližino ničle" razumimo manj kot $1$ levo in desno od ničle. Vrednost polinoma se v bližini ničle z višanjem stopnje manjša, saj potenciramo isto število, ki je manjše od $1$, z večjim eksponentom.