Problemske naloge

Kotne funkcije
Obseg in ploščina likov
Prostornina in površina teles
POLINOMI - predelava
RACIONALNE FUNKCIJE - predelava
Stožnice
Matematično modeliranje

Zgled

Na dolg valj s polmerom $5\rm\, cm$ navijemo $100\rm\, m$ žice tako, da se navoji stikajo. Žico, ki je debela $2\rm\, mm$, nato snamemo z valja. Nastane tuljava.
a) Koliko ovojev ima tuljava?
b) Koliko je dolga tuljava?

Izračunaj:

dolžino žice, potrebne za en ovoj,
število ovojev po sklepnem računu.

Dolžina žice, potrebne za en ovoj
$2 \pi r=2 \pi \cdot 0,051 \dot{=}0,32044\rm\, m$
Število ovojev

$1$ ovoj	..........	$0,32044\rm\, m$
$x$ ovojev	..........	$100\rm\, m$

Tuljava ima $312$ ovojev.

Kolikšna je širina enega ovoja?
Kolikšna je širina $312$ ovojev?

Širina enega ovoja
$2\rm\, mm$
Širina $312$ ovojev
$312 \cdot 2=624{\rm\, mm}=62,4\rm\, cm$
Tuljava je dolga $62,4\rm\, cm$.

Izračunaj še gostoto magnetnega polja v nastali tuljavi, če po njej spustimo tok $2$ ampera.

Gostota magnetnega polja v tuljavi $B$
$B=\frac{\mu_0 NI}{l}$
$\mu_0=4 \pi \cdot 10^{-7}$ ... magnetna (indukcijska) konstanta
$N$ ... število ovojev tuljave
$I$ ... tok skozi tuljavo
$l$ ... dolžina tuljave

$B=\frac{\mu_0 NI}{l}=\frac{4 \pi \cdot 10^{-7}\cdot 312 \cdot 2}{0,624}=0,0013\rm\, T$

Zgled

Z valjarjem želimo utrditi kos zemlje dimenzij $60\rm\, m$ × $100\rm\, m$. Valjar ima valj, ki je dolg $2\rm\, m$, njegov polmer pa meri $63,66\rm\, cm$. Frekvenca vrtenja valja je $0,2\rm\, Hz$. Valjar na obdelovanem kosu zemlje ne sme spreminjati smeri, za obračanje izven obdelovanega kosa zemlje pa porabi $30$ s. Najmanj koliko časa potrebujemo, da utrdimo celoten kos zemlje, če:
a) ne upoštevamo časa obračanja valjarja,
b) upoštevamo čas obračanja valjarja?

Izračunaj:

površino celotnega kosa zemlje,
površino, ki jo utrdimo pri enem vrtljaju valja (glej pravokotnik na animaciji),
koliko vrtljajev je potrebnih za celoten kos zemlje,
koliko časa je potrebnega za celoten kos zemlje.

Površina celotnega kosa zemlje
$60 \cdot 100=6000\rm\, m^2$
Površina, ki jo utrdimo pri enem vrtljaju valja
$2 \pi r \cdot v=2 \pi \cdot 0,6366 \cdot 2 \dot{=}8\rm\, m^2$
Število vrtljajev

$1$ vrtljaj	..........	$8\rm\, m^2$
$x$ vrtljajev	..........	$6000\rm\, m^2$

$x=750$
Čas obdelave
Ker je frekvenca $0,2\rm\, Hz$, en vrtljaj traja $\frac{1}{0,2}=5\rm\, s$.
Da utrdimo celoten kos zemlje, torej porabimo $750 \cdot 5 = 3750{\rm\, s} = 1 {\rm\,h}\ 2{\rm\, min}\ 30{\rm\, s}$.

K času, ki si ga dobil pri nalogi a), prištej čas vseh obračanj. Kako naj vozi valjar, da se bo čim manjkrat obrnil?

Število obračanj
Da se bo valjar čim manjkrat obrnil, mora utrjevati trakove dimenzij $100\rm\, m$ × $2\rm\, m$.
Ker je $60 : 2 =30$, mora prevoziti $30$ trakov:

prevozi $1$. trak in se obrne,
prevozi $2$. trak in se obrne,
...
prevozi $29$. trak in se obrne,
prevozi $30$. trak.

Torej se obrne $29$-krat.
Čas obdelave
$3750 + 29 \cdot 30=4620{\rm\, s}=1{\rm\, h}\ 17{\rm\, m}$

Izračunaj še hitrost valjarja.

Hitrost pri enakomernem gibanju: $v=\frac{s}{t}$
$v ... $ hitrost
$s ...$ pot
$t ...$ čas

Hitrost pri enakomernem gibanju: $v=\frac{s}{t}$
$v ... $ hitrost
$s ...$ pot pri enem vrtljaju valja (modra in rdeča črta na animaciji sta enako dolgi)
$t ...$ čas enega vrtljaja valja

$v=\frac{s}{t}=\frac{2 \pi r}{5}=\frac{2 \pi \cdot 0,6366}{5} \ \dot{=} \ 0,8\rm\, m/s$.

Problemske naloge

Zgled

Na dolg valj s polmerom $5\rm\, cm$ navijemo $100\rm\, m$ žice tako, da se navoji stikajo. Žico, ki je debela $2\rm\, mm$, nato snamemo z valja. Nastane tuljava. a) Koliko ovojev ima tuljava? b) Koliko je dolga tuljava?

Izračunaj še gostoto magnetnega polja v nastali tuljavi, če po njej spustimo tok $2$ ampera.

Zgled

Izračunaj še hitrost valjarja.

Zgled

Na dolg valj s polmerom $5\rm\, cm$ navijemo $100\rm\, m$ žice tako, da se navoji stikajo. Žico, ki je debela $2\rm\, mm$, nato snamemo z valja. Nastane tuljava.
a) Koliko ovojev ima tuljava?
b) Koliko je dolga tuljava?